Физический и математический маятник формула периода колебаний

Физический и математический маятник формула периода колебаний

Математи́ческий ма́ятник — осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую из материальной точки на конце невесомой нерастяжимой нити или лёгкого стержня и находящуюся в однородном поле сил тяготения [1] . Другой конец нити (стержня) обычно неподвижен. Период малых собственных колебаний маятника длины L, подвешенного в поле тяжести, равен

T = 2 π L g <displaystyle T=2pi <sqrt >>

и не зависит, в первом приближении, от амплитуды колебаний и массы маятника. Здесь g — ускорение свободного падения.

Математический маятник служит простейшей моделью физического тела, совершающего колебания: она не учитывает распределение массы. Однако реальный физический маятник при малых амплитудах колеблется так же, как математический с приведённой длиной.

Содержание

Характер движения маятника [ править | править код ]

Математический маятник со стержнем способен колебаться только в какой-то одной плоскости (вдоль какого-то выделенного горизонтального направления) и, следовательно, является системой с одной степенью свободы. Если же стержень заменить на нерастяжимую нить, получится система с двумя степенями свободы (так как становятся возможными колебания по двум горизонтальным координатам).

При колебаниях в одной плоскости маятник движется по дуге окружности радиуса L <displaystyle L> , а при наличии двух степеней свободы может описывать кривые на сфере того же радиуса [1] . Нередко, в том числе в случае нити, ограничиваются анализом плоского движения; оно и рассматривается далее.

Уравнение колебаний маятника [ править | править код ]

Колебания математического маятника описываются обыкновенным дифференциальным уравнением (ДУ) вида

x ¨ + ω 2 sin ⁡ x = 0 , <displaystyle <ddot >+omega ^<2>sin x=0,>

где ω <displaystyle omega > ― положительная константа, определяемая исключительно из параметров маятника. Неизвестная функция x ( t ) <displaystyle x(t)> ― это угол отклонения маятника в момент t <displaystyle t> от нижнего положения равновесия, выраженный в радианах; ω = g / L <displaystyle omega =<sqrt >> , где L <displaystyle L> ― длина подвеса, g <displaystyle g> ― ускорение свободного падения. Уравнение малых колебаний маятника около нижнего положения равновесия (т. н. гармоническое уравнение) имеет вид:

x ¨ + ω 2 x = 0. <displaystyle <ddot >+omega ^<2>x=0.>

Приведённые уравнения предполагают, что потерь энергии в системе нет.

Решения уравнения движения [ править | править код ]

Гармонические колебания [ править | править код ]

Малые колебания маятника являются гармоническими. Это означает, что смещение маятника от положения равновесия изменяется во времени по синусоидальному закону [2] . Поскольку уравнение движения является обыкновенным ДУ второго порядка, для определения закона движения маятника необходимо задать два начальных условия — координату и скорость, из которых определяются две независимые константы:

x = A sin ⁡ ( θ 0 + ω t ) , <displaystyle x=Asin( heta _<0>+omega t),>

где A <displaystyle A> — амплитуда колебаний маятника, θ 0 <displaystyle heta _<0>> — начальная фаза колебаний, ω <displaystyle omega > — циклическая частота, которая определяется из уравнения движения. Движение, совершаемое маятником, называется гармоническими колебаниями.

Нелинейный маятник [ править | править код ]

Для маятника, совершающего колебания с большой амплитудой, закон движения более сложен:

sin ⁡ x 2 = ϰ ⋅ sn ⁡ ( ω t ; ϰ ) , <displaystyle sin <frac <2>>=varkappa cdot operatorname (omega t;varkappa ),>

где sn <displaystyle operatorname > — это синус Якоби. Для ϰ 1 <displaystyle varkappa он является периодической функцией, при малых ϰ <displaystyle varkappa > совпадает с обычным тригонометрическим синусом.

Читайте также:  Как сделать инжектор для дымогенератора

Параметр ϰ <displaystyle varkappa > определяется выражением

ϰ = ε + ω 2 2 ω 2 , <displaystyle varkappa =<frac <varepsilon +omega ^<2>><2omega ^<2>>>,>

где ε = E m L 2 <displaystyle varepsilon =<frac <2>>>> — энергия маятника в единицах t −2 .

Период колебаний нелинейного маятника составляет

T = 2 π Ω , Ω = π 2 ω K ( ϰ ) , <displaystyle T=<frac <2pi ><Omega >>,quad Omega =<frac <pi ><2>><frac <omega >>,>

где K — эллиптический интеграл первого рода.

Для вычислений практически удобно разлагать эллиптический интеграл в ряд:

T = T 0 < 1 + ( 1 2 ) 2 sin 2 ⁡ ( α 2 ) + ( 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ) 2 sin 4 ⁡ ( α 2 ) + ⋯ + [ ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n ) ! ! ] 2 sin 2 n ⁡ ( α 2 ) + … ><displaystyle T=T_<0>left<1+left(<frac <1><2>>
ight)^<2>sin ^<2>left(<frac <alpha ><2>>
ight)+left(<frac <1cdot 3><2cdot 4>>
ight)^<2>sin ^<4>left(<frac <alpha ><2>>
ight)+dots +left[<frac <left(2n-1
ight)!!><left(2n
ight)!!>>
ight]^<2>sin ^<2n>left(<frac <alpha ><2>>
ight)+dots
ight>> ,

где T 0 = 2 π L g <displaystyle T_<0>=2pi <sqrt <frac >>> — период малых колебаний, α <displaystyle alpha > — максимальный угол отклонения маятника от вертикали.

При углах до 1 радиана (≈60°) с приемлемой точностью (ошибка менее 1 %) можно ограничиться первым приближением:

T = T 0 ( 1 + 1 4 sin 2 ⁡ ( α 2 ) ) . <displaystyle T=T_<0>left(1+<frac <1><4>>sin ^<2>left(<frac <alpha ><2>>
ight)
ight).>

Точная формула периода, с квадратичной сходимостью для любого угла максимального отклонения, обсуждается на страницах сентябрьского выпуска журнала «Заметки американского математического общества» 2012 года [3] :

T = 2 π M ( cos ⁡ ( θ 0 / 2 ) ) L g , <displaystyle T=<frac <2pi >cos( heta _<0>/2)<ig )>>><sqrt <frac >>,>

где M ( x ) <displaystyle M(x)> — арифметико-геометрическое среднее чисел 1 и x <displaystyle x> .

Движение по сепаратрисе [ править | править код ]

Движение маятника по сепаратрисе является непериодическим. В бесконечно далёкий момент времени он начинает падать из крайнего верхнего положения в какую-то сторону с нулевой скоростью, постепенно набирает её, а затем останавливается, возвратившись в исходное положение.

Факты [ править | править код ]

Несмотря на свою простоту, математический маятник связан с рядом интересных явлений.

  • Если амплитуда колебания маятника близка к π <displaystyle pi >, то есть движение маятника на фазовой плоскости близко к сепаратрисе, то под действием малой периодической вынуждающей силы система демонстрирует хаотическое поведение. Это одна из простейших механических систем, в которой хаос возникает под действием периодического возмущения [4] .
  • Если точка подвеса не неподвижна, а совершает колебания, то у маятника может появиться новое положение равновесия. Если точка подвеса достаточно быстро колеблется вверх-вниз, то маятник приобретает устойчивое положение «вверх тормашками». Такая система называется маятником Капицы.
  • В условиях вращения Земли при достаточно длинной нити подвеса плоскость, в которой маятник совершает колебания, будет медленно поворачиваться относительно земной поверхности в сторону, противоположную направлению вращения Земли (маятник Фуко).

Содержание:

Что такое математический маятник (осциллятор)

Представьте себе некую механическую систему, которая состоит из некой материальной точки (тела), которая висит на нерастяжимой невесомой нити (при этом масса нити ничтожно мала по сравнению с массой тела). Вот такая механическая система и является маятником или осциллятором, как его еще называют. Впрочем, могут быть и другие виды такого устройства. Чем же математический маятник, осциллятор интересен для нас? Дело в том, что с его помощью можно проникнуть в суть многих интересных природных явлений в физике.

Читайте также:  Вязаная кайма крючком схемы для юбки

Колебания математического маятника

Формула периода колебания математического маятника впервые была открыта голландским ученым Гюйгенсом в далеком XVII веке. Будучи современником Исаака Ньютона, Гюйгенс был очень увлечен такими вот маятниками, увлечен настолько, что даже изобрел специальные часы с маятниковым механизмам, и часы эти были одними из самых точных для того времени.

Маятниковые часы Гюйгенса.

Появление подобного изобретения сослужило большую пользу физике, особенно в сфере физических экспериментов, где точное измерение времени является весьма важным фактором.

Но вернемся к маятнику, итак, в основе работы маятника лежат его колебания, которые можно выразить формулой, точнее следующим дифференциальным уравнением:

Где х (t) – неизвестная функция (это угол отклонения от нижнего положения равновесия в момент t, выраженный в радианах); w – положительная константа, которая определяется из параметров маятника (w = √ g/L, где g – это ускорение свободного падения, а L – длина математического маятника (подвес).

Помимо, собственно колебаний маятник может пребывать и в положении равновесия, при этом сила тяжести, действующая на него, будет уравновешиваться силой натяжения нити. Обычный плоский маятник, пребывающий на нерастяжимой нити, является системой с двумя степенями свободы. Но если, к примеру, нитку заменить на стержень, тогда наш маятник станет системой лишь с одной степенью свободы, так как его движения будут двухмерными, а не трехмерными.

Но если же наш маятник все-таки пребывает на нити и при этом совершает интенсивные колебания вверх-вниз, тогда механическая система приобретает устойчивое положение, именуемое «верх тормашками», еще ее называют маятником Капицы.

Свойства маятника

У маятника есть ряд интересных свойств, подтвержденных физическими законами. Так период колебаний всякого маятника зависит от таких факторов, как его размер, форма тела, расстояние между центром тяжести и точкой подвеса. Поэтому определение периода маятника является не простой задачей. А вот период математического маятника можно рассчитать точно по формуле, которая будет приведена ниже.

В ходе наблюдений за маятниками были выведены следующие закономерности:

  • Если к маятнику подвешивать разные грузы с разным весом, но при этом сохранять одинаковую длину маятника, то период его колебания будет одинаковым вне зависимости от массы груза.
  • Если при запуске колебаний отклонить маятник на не очень большие, но все же разные углы, то он станет колебаться в одинаковым период, но по разным амплитудам. Следовательно, период колебания у подобного маятника не зависит от амплитуды колебания, такое явление было названо изохронизмом, что с древнегреческого можно перевести как «хронос» – время, «изо» – равный, то есть «равновременный».

Период математического маятника

Период маятника – показатель, который представляет период собственно колебаний маятника, их длительность. Формулу периода математического маятника можно записать следующим образом.

Где L – длина нити математического маятника, g – ускорение свободного падения, а π – число Пи, математическая константа.

Читайте также:  Время строительных работ в выходные дни

Период малых колебания математического маятника никак не зависит от массы маятника и амплитуды колебания, в этой ситуации он двигается как математический маятник с заданной длинной.

Практическое применение математического маятника

Вот мы добрались и до самого интересного, зачем нужен математический маятник и какое его применение на практике в жизни. В первую очередь ускорение математического маятника используется для геологоразведки, с его помощью ищут полезные ископаемые. Как это происходит? Дело в том, что ускорение свободного падения изменяется с географической широтой, так как плотность коры в разных местах нашей планеты далеко не одинакова и там где залегают породы с большей плотностью, ускорение будет немножко больше. А значит, просто подсчитав количество колебаний маятника можно отыскать в недрах Земли руду или каменный уголь, так как они имеют большую плотность, нежели другие рыхлые горные породы.

Также математическим маятником пользовались многие выдающиеся ученые прошлого, начиная с античности, в частности Архимед, Аристотель, Платон, Плутарх. Так Архимед и вовсе использовал математический маятник во всех своих вычислениях, а некоторые люди даже верили, что маятник может влиять на судьбы людей и пытались делать с его помощью предсказания будущего.

Математический маятник, видео

И в завершение образовательное видео по теме нашей статьи.

Физическим маятником называется твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг горизонтальной оси подвеса, не проходящей через центр масс тела.

Если физический маятник отклонен от положения равновесия на некоторый угол α, то момент возвращающей силы:

(12.12)

C другой стороны, при малых углах

(12.13)

Где: J – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса О.

l – расстояние между точкой подвеса и центром масс С маятника.

– возвращающая сила (- т.к. она всегда противоположна направлению увеличения угла α. Следовательно:

(12.14) или (12.15)

Таким образом, при малых колебаниях физический маятник также является гармоническим осциллятором и совершает гармонические колебания с циклической частотой ω. Решением уравнения (12.5) является выражение:

(12.16)

Циклическая частота и период колебаний:

(12.17), (12.18)

Приведенная длина физического маятника:

— уравнение математического маятника

(12.19), тогда:

Приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, который имеет тот же период колебаний, что и данный физический маятник.

Точка О’ на продолжении прямой ОС, отстоящая от оси подвеса на L, называется центром качаний физического маятника.

Применяя теорему Штейнера, получим:

Т.е. приведенная длина L физического маятника всегда больше длины l эквивалентного математического маятника (ОО’ всегда больше ОС).

Точка подвеса О и центр качаний О’ обладают свойством взаимозаменяемости: если точку подвеса перенести в центр качаний, то прежняя точка О станет новым центром качаний, и период колебаний физического маятника не изменится.

Математический маятник является частным случаем физического маятника, если предположить, что вся его масса сосредоточена в центре масс, а приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, у которого период колебаний совпадает с периодом колебаний физического маятника.

Ссылка на основную публикацию
Усилитель постоянного напряжения на операционном усилителе
Практическое применение операционных усилителей.Часть первая. Автор: Опубликовано 01.01.1970 Всем привет. В этой статье мы обсудим некоторые аспекты практического применения операционных...
Трубчатое сверло для стекла и керамики
Бренд: Зубр Тип изделия: Дрели и оснастка Материал обработки: Кафель , Стекло Вес товара (Вес нетто), кг: 0,019 Серия инструмента:...
Трубы rehau технические характеристики
Современный рынок строительных материалов для создания инженерных коммуникаций в частных домах и квартирах представлен огромным выбором труб различного назначения. Трубы...
Усилитель с алиэкспресс для s90
Приветствую уважаемых членов данного сообщества!Чтобы не закидали помидорами, сразу предупрежу, что в данной теме я лузер, в технических аспектах не...
Adblock detector