Формула второго закона кирхгофа

Формула второго закона кирхгофа

Законы Кирхгофа (более корректно — правила Киргхгофа) применяются при расчете сложных (разветвленных) электрических цепей. Предлагаю рассмотреть их по очереди и начать, естественно, с первого.

Определение и формула первого закона Кирхгофа, который гласит: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле равна нулю, иллюстрируются рисунком 1.

Здесь:

  • I i — ток в узле,
  • n — число проводников, сходящихся в узле,
  • токи, втекающие в узел ( I1, In ) считаются положительными,
  • вытекающие токи ( I2, I3 ) — отрицательными.

В таком виде этот закон звучит и выглядит, наверное, очень академично, поэтому предлагаю все несколько упростить.

Нарисуем разветвленную электрическую цепь в более привычном виде (рис.2) и дадим такую формулировку:

Сумма токов втекающих в узел равна сумме токов, вытекающих из узла.

Для этого случая формула первого закона Кирхгофа примет вид: I= I1+I2+. +In , что для повседневных вычислений гораздо удобнее.

ВТОРОЙ ЗАКОН КИРХГОФА

Второй закон Кирхгофа определяет зависимость между падениями напряжений и ЭДС в замкнутых контурах и имеет следующий вид (рис.3) и определение:

При отсутствии в контуре ЭДС сумма падений напряжений равна 0.

Теперь несколько пояснений по практическому применению этого правила Кирхгофа:

Поскольку, алгебраическая сумма требует учета знака следует выбрать направление обхода контура ( на рис.3 — по часовой стреклке), токи и напряжения, совпадающие с этим направлением считать положительными, иные — отрицательными.

При затруднении в определении направления тока, возьмите произвольное, если в результате вычислений получите результат со знаком "-", поменяйте выбранное направление на противоположенное.

получаем систему из 6 уравнений, полностью описывающую рассматриваемую электрическую цепь.

© 2012-2020 г. Все права защищены.

Представленные на сайте материалы имеют информационный характер и не могут быть использованы в качестве руководящих и нормативных документов

Закон Кирхгофа (правила Кирхгофа), сформулированные Густавом Кирхгофом в 1845 году, являются следствиями из фундаментальных законов сохранения заряда и безвихревости электростатического поля.

Закон Кирхгофа – это соотношения, выполняемые между токами и напряжениями на участках любых электрических цепей. Они позволяют рассчитывать любые электрические цепи: постоянного, переменного или квазистационарного тока.

При формулировании правил Кирхгофа используют такие понятия, как ветвь, контур и узел электрической цепи.

  • Ветвь – участок электрической цепи с одни и тем же током.
  • Узел – точка соединения трех или более ветвей.
  • Контур – замкнутый путь, проходящий через несколько узлов и ветвей разветвлённой электрической цепи.

При обходе надо учесть, что ветвь и узел могут одновременно принадлежать нескольким контурам. Правила Кирхгофа справедливы как для линейных, так и для нелинейных цепей при любом характере изменения во времени токов и напряжений. Правила Кирхгофа широко применяются при решении задач электротехники за счет легкости в расчетах.

1 закон Кирхгофа

В цепях, состоящих из последовательно соединенных источника и приемника энергии, соотношения между током, сопротивлением и ЭДС всей цепи или на каком-либо участке цепи определяются законом Ома. Но на практике в цепях токи от какой-либо точки идут по разным путям (Рис. 1). Поэтому становиться актуальным введение новых правил для проведения расчетов электрических цепей.

Рис. 1. Схема параллельного соединения проводников.

Так, при параллельном соединении проводников начала всех проводников соединены в одну точку, а концы проводников – в другую точку. Начало цепи присоединяется к одному полюсу источника напряжения, а конец цепи – к другому полюсу.

Из рисунка видно, что при параллельном соединении проводников для прохождения тока имеется несколько путей. Ток, протекая к точке разветвления А, растекается далее по трем сопротивлениям и равен сумме токов, выходящих из этой точки: I = I1 + I2 + I3.

Согласно первому правилу Кирхгофа алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в каждом узле любой цепи равна нулю. При этом направленный к узлу ток принято считать положительным, а направленный от узла – отрицательным.

Читайте также:  4М1 10 4м1 10 4м1 расшифровка

Запишем первый закон Кирхгофа в комплексной форме:

Первый закон Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма токов, направленных к узлу, равна сумме направленных от узла. То есть, сколько тока втекает в узел, столько же вытекает (как следствие закона сохранения электрического заряда). Алгебраическая сумма — это сумма, в которую входят слагаемые со знаком плюс и со знаком минус.

Рис. 2. i_1+i_4=i_2+i_3.

Рассмотрим применение 1 закона Кирхгофа на следующем примере:

  • I1 – это полный ток, текущий к узлу А, а I2 и I3 — токи, вытекающие из узла А.
  • Тогда мы можем записать: I1 = I2 + I3.
  • Аналогично для узла B: I3 = I4 + I5.
  • Пусть, что I4 = 5 А и I5 = 1 А, получим: I3 = 5 + 1 = 6 (А).
  • Пусть I2 = 10 А, получим: I1 = I2 + I3 = 10 + 6 = 16 (А).
  • Запишем подобное соотношение для узла C: I6 = I4 + I5 = 5 + 1 = 6 А.
  • А для узла D: I1 = I2 + I6 = 10 + 6 = 16 А
  • Таким образом мы наглядно видим справедливость первого закона Кирхгофа.

2 закон Кирхгофа

При расчете электрических цепей в большинстве случаев нам встречаются цепи, образующие замкнутые контуры. В состав таких контуров, кроме сопротивлений, могут входить ЭДС (источники напряжений). На рисунке 4 представлен участок такой электрической цепи. Произвольно выбираем положительные направления токов. Обходим контур от точки А в произвольном направлении (выберем по часовой стрелке). Рассмотрим участок АБ: происходит падение потенциала (ток идет от точки с высшим потенциалом к точке с низшим потенциалом).

  • На участке АБ: φА + E1 – I1r1 = φБ.
  • БВ: φБ – E2 – I2r2 = φВ.
  • ВГ: φВ – I3r3 + E3 = φГ.
  • ГА: φГ – I4r4 = φА.
  • Складывая данные уравнения, получим: φА + E1 – I1r1 + φБ – E2 – I2r2 + φВ – I3r3 + E3 + φГ – I4r4 = φБ + φВ + φГ + φА
  • или: E1 – I1r1 – E2 – I2r2 – I3r3 + E3 – I4r4 = 0.
  • Откуда имеем следующее: E1 – E2 + E3 = I1r1 + I2 r2 + I3r3 + I4r4.

Таким образом, получаем формулу второго закона Кирхгофа в комплексной форме:

Уравнение для постоянных напряжений — Уравнение для переменных напряжени —

Теперь можем сформулировать определение 2 (второго) закона Кирхгофа:

Второй закон Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма напряжений на резистивных элементах замкнутого контура, равна алгебраической сумме ЭДС, входящих в этот контур. В случае отсутствия источников ЭДС, суммарное напряжение равно нулю.

Иначе формулируя второе правило Кирхгофа, можно сказать: при полном обходе контура потенциал, изменяясь, возвращается к начальному значению.

При составлении уравнения напряжений для контура нужно выбрать положительное направление обхода контура, при этом падение напряжения на ветви считается положительным, если направление обхода данной ветви совпадает с ранее выбранным направлением тока ветви, в противном случае – отрицательным.

Определить знак можно по алгоритму:

  • 1. выбираем направление обхода контура (по или против часовой стрелки);
  • 2. произвольно выбираем направления токов через элементы цепи;
  • 3. расставляем знаки для напряжений и ЭДС по правилам (ЭДС, создающие ток в контуре, направление которого совпадает с направление обхода контура со знаком «+», иначе – «-»; напряжения, падающие на элементах цепи, если ток, протекающий через эти элементы совпадает по направлению с обходом контура, со знаком «+», в противном случае – «-»).

Закон Ома является частным случаем второго правила для цепи.

Приведем пример применения второго правила Кирхгофа:

По данной электрической цепи (Рис 6) необходимо найти ее ток. Произвольно берем положительное направление тока. Выберем направление обхода по часовой стрелке, запишем уравнение 2 закона Кирхгофа:

Читайте также:  Цветник вдоль забора фото

Знак минус означает, что выбранное нами направление тока противоположно его действительному направлению.

Решение задач

1. По приведенной схеме записать законы Кирхгофа для цепи.

Дано: Решение:
    Дано:

  • R1
  • R2
  • R3
  • E1
  • E2
  • I1 – ?
  • I2 – ?
  • I3 – ?
  • Используя первый закон Кирхгофа, запишем уравнение для цепи. Сумма токов сходящихся в узле равна нулю. Примем входящие токи положительными, а выходящие отрицательными. Тогда:
  • Используя второй закон Кирхгофа составим уравнения для первого и второго контуров цепи.
  • Направления обхода произвольны, при этом если направление тока через резистор совпадает с направлением обхода, знак «+», если иначе, то «-». С источниками ЭДС так же.
  • Для первого контура токи I1 и I3 совпадают с направлением обхода, ЭДС Е1 также совпадает, то есть берем их со знаком «+».
  • Для первого и второго контуров по второму закону Кирхгофа получаем следующие уравнения:
  • Таким образом, получаем систему из трех уравнений, являющуюся решением задачи:

2. На рисунке приведена цепь с двумя источниками ЭДС величиной 12 В и 5 В, с внутренним сопротивлением источников 0,1 Ом, работающих на общую нагрузку 2 ома. Как будут распределены токи в этой цепи, какие они имеют значения?.

Решение задач на расчет сложных цепей основывается на применении первого и второго законов Кирхгофа, которые наряду с законом Ома являются основными законами электрической цепи.

Законы Кирхгофа определяют распределение токов и напряжений в электрических цепях любой конфигурации.

Рассматривая разветвленные электрические цепи, состоящие из нескольких контуров, нам необходимо установить соотношения между токами, приходящими к любому узлу, и токами, уходящими от него. Из физической сущности электрического тока следует, что общее количество носителей тока, притекающее к узлу в течении некоторого промежутка времени, равно количеству носителей, утекающему от узла за тоже время. Если предположить, что это положение не выполняется, то в узловой точке должно происходить накопление зарядов или убыль — утечка зарядов.

На практике эти явления не наблюдаются, следовательно, мы можем утверждать, что сумма величин токов, притекающих к точке разветвления, равна сумме величин токов, утекающих от нее.

Это положение и является формулировкой первого закона Кирхгофа.

Математическое выражение первого закона Кирхгофа применительно к узлу А:

Условимся токи, притекающие к точке разветвления, считать положительными, а токи, утекающие от нее, — отрицательными и сформулируем окончательно первый закон Кирхгофа:

Алгебраическая сумма величин токов в точке разветвления равна нулю.

Пример

На рисунке изображена узловая точка и указаны направления и величины в пяти ветвях.

Требуется определить величину и направление тока в шестой ветви.

Решение.

Предположим, что ток в шестой ветви притекает к точке А. Используя первый закон Кирхгофа, составим уравнение ∑I=0

Используя первый закон Кирхгофа, можно составить (k-1) уравнений, связывающих между собой величины токов в ветвях. Таким образом, число уравнений на одно меньше, чем число всех узлов цепи. Это объясняется тем, что все токи, входящие в уравнение для узла k, уже вошли в предыдущие уравнения. На схеме в узле А сходятся токи I1, I2, I3; в узле В —I2, I3, I4, I5; в узле С — I4, I5, I1.

Уравнения первого закона Кирхгофа для узлов А и В являются независимыми. В то же время уравнение для узла С. Дает нам зависимость, которая может быть получена на основании уравнений, составленных для первых двух узлов.
В самом деле, на основании первого закона Кирхгофа получим:

Но последнее уравнение не является независимым, так как может быть получено на основании двух первых.
Действительно, складывая (1) и (2), получим

Читайте также:  Ножи для ледобура какие лучше

а умножив обе части равенства на -1, будем иметь

Определим теперь число уравнений, которое можно составить, используя второй закон Кирхгофа. Для того чтобы эти уравнения были независимы друг от друга, достаточно чтобы контуры, для которых они пишутся, отличались хотя бы одной ветвью, входящей в их состав.
Математически доказано, что число независимых уравнений m, которое можно составить для любой сложной цепи по второму закону Кирхгофа будет равно

m = n-k + 1 ,

где m —число независимых уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа;
n — число ветвей;
к — число узлов.
При выборе контуров стараются по возможности подобрать такие, которые содержат меньшее число ветвей и э. д. с.
Общее число уравнений, составляемых по первому и второму законам Кирхгофа для сложной цепи, состоящей из ветвей и узлов, будет равно числу ветвей.
Складывая число уравнений, составленных на основании первого закона Кирхгофа (k—1), с числом уравнений, составленных на основании второго закона Кирхгофа (m), получим

k — 1 + m = k— 1 + n — k + 1 = n .

Итак, если задана цепь из n ветвей и известны все э. д. с. и сопротивления, всегда можно составить n уравнений по числу неизвестных токов в ветвях.
Для решения задачи на расчет сложной цепи необходимо:

4. Для выбранных узловых точек схемы составить (k — 1) уравнений по первому закону Кирхгофа:

Суммирование токов производится обязательно с учетом знака.
5. Для выбранных замкнутых контуров составить m уравнений по второму закону Кирхгофа:

При составлении этих уравнений э. д. с. суммируются с учетом знака, а падения напряжения берутся со знаком плюс, если направление тока совпадает с направлением обхода контура, и наоборот.
6. Решить систему полученных уравнений, в результате чего определяются величины токов во всех ветвях цепи. Если при решении та или иная величина тока получается со знаком минус, то это значит, что фактическое направление тока в данной ветви обратно тому, которое было принято предварительно.
Для закрепления рассматриваемого порядка расчета сложной цепи с использованием законов Кирхгофа решим пример.

I

Пример. Дана сложная цепь, изображенная на рисунке. Зная Е1, Е2, Е3, r1 r2 и r3, необходимо определить токи в ветвях I1, I2 и I3.

Решение.
1. Анализируя данную схему, устанавливаем, что в ней число ветвей n равно трем, а число узлов k равно двум.
2. Обозначим направление токов в ветвях. Это не значит, что они будут именно такими, как мы предположили. Истинное направление токов определится в ходе решения задачи.
3. Уравнения первого закона Кирхгофа необходимо составить для
(k-1) узлов, или 2-1= 1.
Количество уравнений второго закона Кирхгофа, которое надо составить для решения задачи будет равно

m = n-(k- 1) = 3 — (2 — 1) = 3 — 1=2 .

4. Составим одно уравнение по первому закону Кирхгофа для узла А:

5. Приняв направление обхода контуров против часовой стрелки, составим m-2 уравнений для замкнутых контуров по второму закону Кирхгофа:
— для контура № 1:

6. Решаем систему из трех уравнений.
Из уравнения, составленного по первому закону Кирхгофа (4),
имеем
I1=I2-I3

Подставим полученное значение тока в уравнение (5)

Подставим числовые значения и уравнения (5) и (6).

Упростим эти уравнения и решим их методом подстановки:

Умножим уравнение (7) на 2 и вычтем из полученного результата уравнение (8)

далее, подставляя значение I2 в уравнение (8), получим

5= -3*2,7-4I3; 4I3= -13,1 ;
I3= -13,1/4=-3,3A .

Теперь из уравнения (6) находим ток I1:

В результате решения токи I2 и I1 имеют положительное, а ток I3
отрицательное значение, следовательно, фактическое направление токов I2
и I1 совпадает с принятым, а тока I3 — обратно принятому в начале решения задачи.

Ссылка на основную публикацию
Филировка машинкой для стрижки волос
Метод филировки применяется на завершающей стадии стрижки и заключается в состригании кончиков волос на разном уровне. Благодаря прореженным кончикам короткие...
Усилитель постоянного напряжения на операционном усилителе
Практическое применение операционных усилителей.Часть первая. Автор: Опубликовано 01.01.1970 Всем привет. В этой статье мы обсудим некоторые аспекты практического применения операционных...
Усилитель с алиэкспресс для s90
Приветствую уважаемых членов данного сообщества!Чтобы не закидали помидорами, сразу предупрежу, что в данной теме я лузер, в технических аспектах не...
Фикус осыпается и желтеет
Ну кто сказал, что уход за фикусами не составляет труда? Даже обычные формы при неправильных условиях содержания сразу реагируют пожелтением...
Adblock detector